\subsection{角平分线}\label{subsec:czjh1-3-16}

仿照对线段垂直平分线的讨论，我们可以得到下面的定理：

\begin{dingli}[定理]
    在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
\end{dingli}

已知： $OC$ 是 $\angle AOB$ 的平分线， 点 $P$ 在 $OC$ 上， $PD \perp OA$，
$PE \perp OB$，垂足分别是 $D$、$E$（图 \ref{fig:czjh1-3-57}）。

求证： $PD = PE$。

\zhengming $\because$ \quad $PD \perp OA$， $PE \perp OB$，

$\therefore$ \quad $\angle PDO = \angle PEO = Rt \angle$。

在 $\triangle PDO$ 和 $\triangle PEO$ 中，

$\angle PDO = \angle PEO$， $\angle AOC = \angle BOC$， $OP = OP$，

$\therefore$ \quad $\triangle PDO \quandeng \triangle PEO$ （$AAS$） 。

$\therefore$ \quad $PD = PE$。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-57}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-57}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-58}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-58}
    \end{minipage}
\end{figure}


\begin{dingli}[逆定理]
    到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
\end{dingli}

已知： $PD \perp OA$， $PE \perp OB$，垂足分别是 $D$、$E$， $PD = PE$（图 \ref{fig:czjh1-3-58} ）。

求证： 点 $P$ 在 $\angle AOB$ 的平分线上。

\zhengming 经过点 $P$ 作射线 $OC$，

$\because$ \quad $PD \perp OA$， $PE \perp OB$，

$\therefore$ \quad $\angle PDO = \angle PEO = Rt \angle$。

在 $Rt \triangle PDO$ 和 $Rt \triangle PEO$ 中，

$OP = OP$， $PD = PE$，

$\therefore$ \quad $Rt \triangle PDO \quandeng Rt \triangle PEO$ （$HL$）。

$\therefore$ \quad $\angle AOC = \angle BOC$。

$\therefore$ \quad $OC$ 是 $\angle AOB$ 的平分线。

就是说，点 $P$ 在 $\angle AOB$ 的平分线上。

根据上述的定理和逆定理可以知道：
\zhongdian{角的平分线可以看作是到角的两边的距离相等的所有点的集合。}

\liti[0] 求证： 三角形三条角平分线交一点。

已知： $AM$、$BN$、$CP$ 是 $\triangle ABC$ 的三条角平分线（图 \ref{fig:czjh1-3-59}）。

求证： $AM$、$BN$、$CP$ 交于一点。

\zhengming 设 $AM$、$BN$ 交于点 $R$。 过点 $R$ 分别作边 $BC$、 $AC$、 $AB$ 的垂线，垂足分别为 $D$、$E$、$F$。

$\because$ \quad 点 $R$ 在 $AM$ 上，

$\therefore$ \quad $RE = RF$（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）。

同理 \quad $RD = RF$。

$\therefore$ \quad $RD = RE$。

$\therefore$ \quad 点 $R$ 在 $CP$ 上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）。

因此，$AM$、$BN$、$CP$ 交于一点。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-59}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-59}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-subsec16-lx-01}
        \caption*{（第 1 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}

\begin{lianxi}

\xiaoti{如图，在直线 $MN$ 上求作一点 $P$，使点 $P$ 到射线 $OA$ 和 $OB$ 的距离相等。}

\xiaoti{已知：$\triangle ABC$。 求作：一点 $P$，使 $P$ 到 $BC$、$CA$、$AB$ 的距离都相等。}

\end{lianxi}

